為什麼需要 t 檢定？
從飲料容量的抽查結果，理解平均數差距、機率分配與 p 值的關係。
一、飲料店真的偷工減料嗎？
你買了一杯標示 500 mL 的飲料，實際量到 495 mL。你會立刻認定店家每杯都少裝嗎？單次測量可能受到裝填差異影響，我們要問的是：這家店平均裝的容量，真的不是 500 mL 嗎？
二、統計就像法官：先看證據
法官不會因為有人被指控，就直接判他有罪。在證據足夠之前，先推定無罪。
統計檢定也一樣：飲料店被懷疑少裝，我們先假設它平均確實裝了500 mL，再看抽查結果是否足以推翻這個說法。
店家平均裝500 mL。
店家平均少於500 mL。
證據不夠，就不能判定少裝。但這不代表已經證明店家一定沒有少裝，就像證據不足以定罪，不等於證明事情絕對沒有發生。
三、動手拖曳：差多少才值得懷疑？
店家說平均每杯500 mL。抽查的平均數有時高、有時低。少一點可能只是正常誤差；少很多，就值得懷疑。調整抽查平均數，觀察差距如何影響檢定結果。
互動實驗｜拖曳抽查平均數
圖形中央是500 mL。往左拖，看看少裝的差距與橘色面積如何改變。
為了公平比較，固定每次抽查30杯、單杯標準差10 mL；橘色是「假設平均500 mL，抽到這麼低或更低平均數」的機率（單尾 p 值）。
差距大 → 橘色面積小 → p 值小 → 更有理由懷疑店家。
0.05是事先訂好的判斷門檻，不是少了5 mL。
四、懷孕檢驗的兩種誤判
把「真的沒有懷孕」當作 H₀，就能用一個非常生活化的例子理解兩種錯誤。
| 真實情況 | 檢驗判斷 | 錯誤類型 |
|---|---|---|
| 沒有懷孕 | 卻說有懷孕 | 第一類錯誤：誤報 |
| 已經懷孕 | 卻說沒有懷孕 | 第二類錯誤：漏報 |
記法：第一類是「沒事說有事」；第二類是「有事說沒事」。實際統計研究中，要先確認 H₀ 是什麼，才能判斷是哪一類錯誤。
五、什麼時候才需要 t 檢定？
當研究問題是比較平均數，例如飲料平均容量、兩班平均成績、同一批人運動前後平均睡眠時數，就可能使用 t 檢定。
先問「我要比較哪兩個平均位置？」再選統計方法。不是每個有數字的問題都適合 t 檢定。
單一樣本 t 檢定
以32包洋芋片的重量為例，比較左尾單尾檢定與雙尾檢定。
一、洋芋片包裝寫350公克，真的有350嗎？
消基會想了解某品牌市售洋芋片的平均重量是否符合包裝標示的 350 g，從15個大型賣場隨機抽樣，取得以下32包原始重量資料。
32包洋芋片重量（單位：g）
32包的平均重量是否低於包裝標示？
二、一步一步算出單一樣本 t 值
這32包洋芋片不可能每包都完全相同，因此只看到抽樣平均低於350 g，還不能立刻認定整個品牌的平均重量真的不足。單一樣本 t 檢定要回答的是：抽樣平均與包裝宣稱的350 g相差多少？這個差距相對於抽樣時自然產生的波動，究竟算大還是小？因此，我們先求出32包的樣本平均、樣本標準差與平均數的標準誤，再把「平均差距」除以「標準誤」，換算成 t 值。
樣本平均是32包重量的算術平均；樣本標準差（SD）描述每包重量彼此差異的程度；標準誤（SE = SD ÷ √32）則描述在重複抽取32包時，抽樣平均通常會有多大波動。t 值表示這次抽樣平均距離假設平均350 g有幾個標準誤。自由度為32 − 1 = 31。先用左尾單尾檢定回答「是否少裝」，稍後再比較雙尾。
三、左尾單尾檢定：洋芋片是不是少裝？
這32包洋芋片的實際抽樣平均重量是 347.1875 g，比包裝標示的350 g低。如果我們只想知道「這個品牌洋芋片的整體平均重量，是否真的少於包裝上標示的350 g」，而不打算檢驗是否高於350 g，就使用左尾單尾檢定。這時，虛無假設以平均350 g為比較基準，對立假設是整體平均重量小於350 g。左尾檢定只把「比350 g低」的方向當作支持研究問題的證據；如果抽樣平均反而高於350 g，就不會因此得到支持「少裝」的結論。
在虛無假設成立、整體平均確實為 350 g 的前提下，我們要問：「隨機抽取32包時，得到347.1875 g或更低的抽樣平均，有多不尋常？」圖中的橘色左尾面積就是這個機率，也就是左尾單尾 p 值。請拖曳滑桿或直接輸入不同的「模擬抽樣平均重量」，觀察上圖的公克位置、下圖換算後的 t 值，以及左側橘色面積如何一起改變。350 g是固定的假設中心；347.1875 g是原始32包的實際平均，操作只是模擬其他可能的抽樣結果，不會改動原始資料。
調整抽樣平均與機率，觀察圖形變化
可輸入抽樣平均重量或單尾 p 值；修改任一數值，滑桿與圖形會同步移動。
紅色虛線與淡紅色區域：固定顯著門檻（α = 0.05）；橘色區域：目前抽樣結果的 p 值；藍色標記：可移動的抽樣平均。
左尾單尾｜是否比標準少？
p = —四、雙尾檢定：不知道偏多還是偏少
如果我們不預先認定洋芋片一定少裝，而是想知道「這個品牌洋芋片的整體平均重量，是否與包裝標示的350 g有所不同」，就應使用雙尾檢定。因為「不同」包括平均重量低於350 g，也包括高於350 g，所以必須同時考慮分配曲線左右兩端的極端結果。此時，虛無假設是整體平均等於350 g，對立假設是整體平均不等於350 g。檢定方向應在觀察資料結果之前，依研究問題決定，不能因為某種檢定比較容易達到顯著才事後改選。
雙尾檢定可直接使用本區的滑桿或數字輸入框。請先輸入原始抽樣平均 347.1875 g：因為它低於350 g，對應的 t 值為負，所以左側極端區域落在負的 t 值一端；再找出與它距離中心一樣遠、但方向相反的右側極端區域。兩端面積相加，才是完整的雙尾 p 值。兩處操作區會同步使用相同的模擬平均值。
調整抽樣平均與機率，觀察圖形變化
可輸入抽樣平均重量或每側 p/2；輸入 p/2 時，以左側重量位置為準，右側對稱區域同步顯示。
紅色虛線與淡紅色區域：固定顯著門檻（α = 0.05，左右各 0.025）；橘色區域：目前抽樣結果的雙尾 p 值；藍色標記：可移動的抽樣平均。
雙尾｜是否與標準不同？
p = —無論採單尾或雙尾，使用的都是同一批32包資料、相同的樣本標準差、標準誤與假設平均350 g，所以算出的 t 值相同；改變的是「哪些方向的結果被算進 p 值」。單尾只回答預先設定的少裝方向，雙尾則回答是否偏離350 g，不論偏高或偏低。p 值表示在虛無假設成立時，觀察到這麼極端或更極端結果的機率，並不是「虛無假設為真的機率」，也不能直接當成少裝的百分比。
五、檢驗觀念
六、同一批洋芋片，回答兩道不同問題
根據32包洋芋片的重量資料，樣本平均重量為 347.1875 g，樣本標準差約 6.270 g。在假設整體平均重量為350 g時，樣本平均比標準低2.8125 g；再以標準誤換算，得到 t(31) ≈ −2.537。負號代表樣本平均位於350 g左側，數值的絕對大小則反映這個差距相當於多少個標準誤。接著要依研究問題選擇左尾單尾或雙尾，不能只看到 t 值就直接下結論。
左尾單尾檢定
在預先設定顯著水準α = .05的情況下，左尾 p 值小於.05，表示如果整體平均真的是350 g，抽到這麼低或更低平均數的機率很小。因此，我們拒絕「平均為350 g」的虛無假設，認為資料提供了支持整體平均重量低於350 g的統計證據。
雙尾檢定
雙尾同時計入偏低與偏高兩端的極端結果，總 p 值也小於預先設定的.05，因此資料提供了整體平均重量與350 g不同的統計證據。至於這次差異的方向，可由實際抽樣平均347.1875 g低於350 g看出是偏低；雙尾檢定本身檢驗的是「是否不同」，而不是事先只檢驗「是否少裝」。
獨立樣本與成對樣本 t 檢定
從兩班考試成績與同一群人的睡眠變化，區分獨立樣本與成對樣本 t 檢定。
一、兩班誰比較會考試？
甲班平均 78 分，乙班平均 83 分。乙班高了 5 分，是否代表兩班整體成績確實有差？先看看兩班同學的分數。
平均 78 分
平均 83 分
兩班各列出五位學生的成績，先比較兩組分數的分布。
二、獨立樣本：兩群不同的人
例如比較甲班與乙班的考試平均分數，或比較兩組不同參與者的平均滿意度。重點是：甲班同學不是乙班的同一批人。
如果兩組分散程度不同，常可考慮 Welch t 檢定，不必硬把兩組當成波動一樣。
三、成對樣本：同一群人前後比較
想知道「睡前不滑手機一週」是否改善睡眠？找同樣 6 位學生，記錄挑戰前後每天睡眠時數。
| 學生 | 挑戰前 | 挑戰後 | 增加 |
|---|---|---|---|
| 1 | 6 小時 | 6.5 小時 | +0.5 |
| 2 | 7 小時 | 7.5 小時 | +0.5 |
| 3 | 5.5 小時 | 6.5 小時 | +1.0 |
| 4 | 6.5 小時 | 7 小時 | +0.5 |
| 5 | 7 小時 | 7.5 小時 | +0.5 |
| 6 | 6 小時 | 7 小時 | +1.0 |
每位學生都和「自己以前」比較，這叫成對樣本。我們真正分析的是六個人的「前後差」，而不是把前測、後測當成兩群陌生人。
四、判斷適用的檢定方法
判斷檢定方法時，先確認兩組數據來自不同的人，還是同一批人的兩次測量。
五、論文結果怎麼說？
例如兩組滿意度平均分數不同，但檢定結果 p = .21，應寫：
不能寫「已證明兩組完全一樣」。如果 p < .05，也要搭配平均數、標準差、差距方向及效果大小，才知道差異對研究有什麼意義。
獨立樣本 t 檢定：兩組母體、重複抽樣與顯著比例
以魏氏智力測驗為例，設定 A、B 兩組的平均數，觀察母體分配的重疊程度；再從兩組分別抽樣，計算平均差與 t 檢定，看看多少次抽樣會得到顯著結果。
一、設定兩組母體平均數
兩組個人智力分數均假設服從常態分配，標準差固定為15分。拖曳平均數滑桿，兩條曲線會左右平移；曲線重疊程度不等於統計檢定的顯著與否。
二、設定每次抽樣人數與重複次數
每組1～10,000人，兩組人數相同且彼此獨立。
每次都會得到兩組平均數、平均差、t 值與雙尾 p 值。
移動母體平均數滑桿時，上方重疊圖會立即更新；按「重新抽樣」才會產生新的隨機資料。每次重新抽樣結果可能不同。
三、抽樣分配：A 組、B 組與平均差
直方圖來自實際重複抽樣。第 k 次 A 組平均數減去第 k 次 B 組平均數，就是第三張圖的第 k 筆平均差。曲線是理論抽樣分配，可用來與模擬結果比較。
① A 組抽樣平均數
A 組每次抽 n 人，計算一個樣本平均數。
② B 組抽樣平均數
B 組獨立抽 n 人，計算一個樣本平均數。
③ 平均差 A − B
逐次相減得到平均差；淡紅色區域為 α = .05 的參考拒絕域。
四、1～1,000次抽樣，有多少次達到顯著？
等待抽樣……
| 平均差抽樣分配 | 理論值 | 模擬值 |
|---|---|---|
| 平均數 | — | — |
| 標準差／標準誤 | — | — |
| 參考顯著界線（α = .05） | — | 每次 t 檢定以該次樣本 SD 判斷 |
圖上的紅色區域使用母體 SD = 15 推得的理論標準誤及 t 臨界值作為參考；實際「達顯著次數」則逐次依樣本標準差計算合併變異數 t 檢定，所以每次實際重量差（分數差）的門檻會略有不同。每組只有1人時無法計算一般獨立樣本 t 檢定，因此不提供顯著比例。
五、查看任一次抽樣，並下載原始資料至 JASP
選擇第幾次抽樣後，可以下載該次 A、B 兩組的每一位受試者模擬分數。CSV 採長格式，每人一列，包含組別與 IQ 分數，可直接在 JASP 開啟並執行獨立樣本 t 檢定。
原始資料檔含 group（A/B）、iq（模擬分數）、sample_no（抽樣次序）、id（組內編號）。在 JASP 中將 iq 放入依變項、group 放入分組變項；若選用「等變異數」的 Student t 檢定，應與本頁顯示的 t 值一致（允許顯示四捨五入差異）。原始 CSV 保留完整數值精度。
六、如何解讀模擬結果？
當 A、B 兩組母體平均數相同時，虛無假設成立，重複進行 α = .05 的雙尾檢定，達顯著比例理論上接近5%，這是第一類錯誤。當兩組母體平均數不同時，達顯著比例代表這個設定下的模擬檢定力；未達顯著的比例則反映第二類錯誤的可能性。即使兩組母體分配高度重疊，只要樣本數足夠大，仍可能偵測到很小的平均差；反之，兩組平均數不同，也不能保證每次抽樣都顯著。此模擬使用假設的常態母體，並非實際測驗受試者紀錄。